Verifica che è il luogo dei punti equidistanti dalla retta r: x =–1/4 e dal punto A(0,1/4)
Verifica che O(0,0) e B(0,1/2) sono gli due unici punti della curva simmetrici rispetto ad A
Determina l'area della parte di piano delimitata da r e dalle due rette tangenti alla curva nei punti O e B
L'equazione è quella di una conica.
Scritta come
x=2y2–y
è evidentemente una parabola con asse
parallelo a quello delle x, che intercetta
l'asse delle y nei punti (0,0) e (0,1/2).
Quindi y=1/4 è l'equazione dell'asse di
simmetria e il vertice avrà coordinate
(2·1/16–1/4,1/4) cioè V(–1/8,1/4).
Siccome la prima coordinata del fuoco, che sta sull'asse della parabola, si ottiene aggiungendo all'ascissa del vertice 1/(4a)
F(–1/8+1/8,1/4)=(0,1/4)ºA
La direttrice ha invece equazione
d: x = –1/8–1/8
ovvero
d: x = –1/4
Poiché FºA e dºr è chiaro che i punti della parabola sono equidistanti da A e da r.
I punti della parabola si possono descrivere con P(2y2–y,y).
Una simmetria rispetto ad A ha equazioni
Il punto simmetrico di P rispetto a A sarà quindi P'(–2y2+y,1/2–y).
P' starà dunque sulla parabola quando
–2y2+y = 2(1/2–y)2–(1/2–y)
ovvero
2y = 2(1/2–y)–1
da cui
y = 0.
L'equazione della retta tangente in O alla parabola
si può ricavare ad esempio con la formula
(x+0)/2=2y·0–(y+0)/2
da cui
y = –x.
Per simmetria
y = x + 1/2
è l'equazione della retta tangente in B alla parabola.
Il punto in comune tra le due rette, sull'asse di
simmetria della parabola, ha ascissa tale che
–x = x + 1/2
da cui
x = –1/4.
L'area richiesta è l'area di un triangolo senza l'area di un segmento parabolico:
(1/2·1/4)/2 – 3/4·(1/2·1/8) =
= 1/16·(1 – 3/4) = 1/64
pagina di Roberto Ricci
L.S. "A. Righi", Bologna.
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